Wśród stałych matematycznych wyróżniamy nie tylko liczbę Pi. Do najważniejszych stałych zalicza się także liczbę Eulera, stałą Eulera i stałe Bruna.

Liczba Pi nie jest jedyną stałą matematyczną, choć bez wątpienia jest najbardziej popularna. Matematyka wbrew pozorom jest bardzo interesująca nauką, a znajomością stałych matematycznych możemy zabłysnąć przed znajomymi lub na zajęciach – w szkole czy na studiach. Jakie stałe matematyczne warto znać?

Podstawa logarytmu naturalnego

Podstawa logarytmu naturalnego, określana również mianem liczby Eulera bądź liczby Nepera, to stała matematyczna, którą wykorzystuje się nie tylko w matematyce, ale również w fizyce. Oznacza się ją najczęściej symbolem „e”. Liczbę Eulera tak naprawdę definiuje się na kilka sposobów – są one równoważne: jako granicę ciągu, sumę szeregu czy jako argument określonej funkcji.

Co należy wiedzieć o podstawie logarytmu naturalnego? Jest to liczba niewymierna, a udowodnił to Leonhard Euler, fizyk i matematyk pochodzący ze Szwajcarii. Dodatkowo, jest to także liczba przestępna, co z kolei zauważył matematyk francuski, Charles Hermite. Liczba e jest jednym z elementów wzoru Eulera, który nazywany jest najpiękniejszym wzorem matematycznym. Wzór ten wiąże liczbę e z innymi, równie słynnymi liczbami, a więc liczbą Pi, jednością, zerem oraz jednostką urojoną. Podobnie jak o liczbie Pi, na temat liczby e tworzy się specjalne wierszyki, które ułatwiają zapamiętanie jej kolejnych cyfr dziesiętnych.

Stała Meissela-Mertensa

Stała Meissela-Mertensa to stała matematyczna, którą wykorzystuje się przede wszystkim w teorii liczb. Definiuje się ją jako granicę różnicy sumy szeregu harmonicznego, który ograniczony jest do liczb pierwszych i logarytmu naturalnego z logarytmu naturalnego – całość określa się specjalnym wzorem.

Ze względu na to, że używa się tu podwójnego logarytmu, traktuje się to jako konsekwencję twierdzenia o liczbach pierwszych, a także definicji stałej Eulera. Czasami stałą określa się mianem stałej Kroneckera lub stałej Hadamarda-de la Vallee-Poussina. W przybliżeniu opisywana stała wynosi: 0,2614972128476427…

Stałe Bruna

Wśród stałych Bruna znajdują się tak naprawdę dwie stałe – dla liczb bliźniaczych oraz dla liczb czworaczych. Stałą dla liczb bliźniaczych Viggo Brun, norweski matematyk, pokazał w roku 1919. Udowodnił on, że suma odwrotności liczb bliźniaczych jest zbieżna do wartości stałej, która została nazwana jego imieniem. Zbieżność tej sumy jest o tyle ciekawa, że suma odwrotności wszystkich liczb pierwszych jest rozbieżna. Rozbieżność sumy byłaby dowodem na istnienie nieskończonej pary liczb bliźniaczych – stanowiłaby zatem rozwiązanie problemu liczb bliźniaczych. Warto dodać, że liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2.

Stała Bruna dla liczb czworaczych, a więc układu dwóch par liczb bliźniaczych, których różnica wynosi 4, jest sumą odwrotności wszystkich czwórek liczb pierwszych postaci, a jej wartość wynosi 0,87058 83800 ± 0,00000 00005. Stałą Bruna dla liczb czworaczych oznacza się symbolem „B4”. Może to powodować wiele nieporozumień, ponieważ tego symbolu używa się także do określenia stałej Bruna dla liczb pokrewnych, a więc liczb pierwszych odległych o 4.

Stała Eulera

Stałej Eulera nie należy mylić z podstawą logarytmu naturalnego. To stała której wartość wynosi w przybliżeniu 0,5772156649. Stała ta po raz pierwszy pojawiła się w dziele Eulera w dziele noszącym tytuł „De Progressionibus harmonicis Observationes”. Stałą Eulera możemy znaleźć w wyrażeniach, które są związane z całkami funkcji wykładniczych oraz transformacjach Laplace’a logarytmu naturalnego.

Co ciekawe, nie wiemy do końca, czy stała Eulera jest liczbą wymierną lub nie. Wykazano jednak, że jeżeli stała ta jest rzeczywiście liczbą wymierną, jej mianownik musiałby mieć ponad 10242080 cyfr.

Tu grafika ze wzorem na stałą Eulera

To kilka z najbardziej znanych stałych matematycznych. Warto pamiętać, że często wykorzystywane są nie tylko w matematyce, ale także pokrewnych jej dziedzinach, takich jak fizyka. Stałe matematyczne mają dla tych dziedzin szczególne znaczenie.